2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Kaç tane $p$ asal sayısı için $p^2+11$ sayısının tam $6$ tane farklı pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$p\geq 5$ asalı için $p$ asalı $6k\pm 1$ formatındadır. Dolayısıyla $$p^2+11\equiv (6k\pm 1)^2+11\equiv 0\pmod{12}$$ olacağından $p\geq 5$ ise $12\mid p^2+11$ olacaktır. $6$ pozitif böleni olan tüm sayılar $qr^2$ veya $q^5$ formatındadır. $12\mid p^2+11$ olduğundan tek ihtimal $qr^2=2^2\cdot 3$'dir ama bu da sadece $p=1$ olunca olur, çözüm yoktur.

$p=3$ ise $p^2+11=20$ ve $p=2$ ise $p^2+11=15$ olur. Sadece $p=3$ istenileni sağlar.