Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 21

[matematikolimpiyati]

$D$ noktası, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde olmak üzere, $2|AC|=2|DC|=3|BD|$ ve $8|AD|=3|AB|$ ise $s(\widehat{BAD})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 15^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 75^{\circ}$

[Lokman Gökçe]

Mustafa Töngemen'in 1993-2006 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında verilen çözümü paylaşıyorum.

Yanıt: $\boxed{D}$

Çözüm 1: Verilen kenar eşitliklerinden $|AC|=|CD|=3x$, $|BD|=2x$, $|AB|=8y$, $|AD|=3y$ yazabiliriz. $|CE|=|CB|=5x$ olmak üzere ($A \in [CE]$) $BCE$ ikizkenar üçgenini inşa edersek $|AE|=|BD|=2x$, $AD \parallel BE$ olup $ADBE$ bir ikizkenar yamuktur. Köşegenlerin kesim noktasını $F$ ile gösterelim.

$ADC \sim EBC$ benzerliğinden $\dfrac{|EB|}{|AD|} = \dfrac{|CA|}{|CE|}$ olup $|EB| = 5y$ elde edilir.

$ADF \sim BEF$ benzerliğinden $\dfrac{|AF|}{|BF|} = \dfrac{|AD|}{|EB|} = \dfrac{3}{5}$ olup $|AF| = 3y$, $|BF|=5y$ elde edilir. Ayrıca ikizkenar yamukta $|FA|=|FD|=3y$ olduğundan $ADF$ eşkenar üçgendir. $s(\widehat{BAD})=60^\circ$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2 [Lokman GÖKÇE]: Bu problemin çözümünde, ilk çözümdeki gibi bir ek çizim tasarlamak bir parça zor olabilir. Bu nedenle, geometrik hesaplama yöntemleriyle soruyu çözeceğiz.

Verilen kenar eşitliklerinden $|AC|=|CD|=3x$, $|BD|=2x$, $|AB|=8y$, $|AD|=3y$ yazabiliriz. Stewart teoreminden

$$ (3y)^2 = \dfrac{(8y)^2\cdot 3x + (3x)^2\cdot 2x}{5x} - 6x^2 $$

olup düzenlersek $45y^2 = 192y^2 + 18x^2 - 30x^2 \implies 49y^2 = 4x^2 \implies 7y = 2x$ elde edilir. Böylece $ABD$ üçgeninin kenarlarının $8,3,7$ sayıları ile orantılı olduğunu görüyoruz. $s(\widehat{BAD})= \alpha $ dersek, kosinüs teoreminden

$$ \cos(\alpha) = \dfrac{8^2 + 3^2 - 7^2}{2\cdot 8 \cdot 3} = \dfrac{1}{2}$$

bulunur. Dolayısıyla $s(\widehat{BAD})= \alpha = 60^\circ $ dir.