Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 17

[matematikolimpiyati]

$k \geq 3$ olmak üzere, $k$ değişik pozitif tam sayıdan herhangi farklı üçünün toplamı bir asal sayı ise $k$ en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Herhangi $3$ tane elemanın toplamı en az $1+2+3=6$ olduğundan elde edilen asallar en az $7$'dir. Bu yüzden bu sayılardan $3$ tanesinin toplamı $3$'ün katı olmamalıdır. Eğer sayıları $3$ modunda $0$ kalanı verenler, $1$ kalanı verenler, $2$ kalanı verenler olarak sınıflandırırsak, herhangi bir gruptan $3$ tane sayı olmamalıdır. Her gruptan en az bir sayı olursa da $0+1+2\equiv 0\pmod{3}$ olduğundan yine $3$'ün katı elde edilir. Dolayısıyla en az bir grubu komple kullanmamalıyız. Kullanılan gruplardan ise en fazla $2$ tane sayı kullanmalıyız. Bu durumda en fazla $4$ sayı seçebiliriz. $k=4$ için örnek durum ise $\{1,3,7,9\}$ sayılarıdır.