Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 05

[matematikolimpiyati]

Her harf sıfırdan farklı bir rakamı göstermek üzere$,$ $ABCD=4 \times DCBA$ ise $B+C$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öncelikle $4$ basamaklı bir sayının $4$ ile çarpıldığında hala $4$ basamaklı olabilmesi için $D$'nin $3$ veya daha büyük olamayacağını görelim. $D=2$ veya $D=1$'dir. Verilen eşitliği açarsak $$1000A+100B+10C+D=4000D+400C+40B+4A\implies 332A+20B=1333D+130C$$ elde edilir. Buradan $D$'nin çift olduğunu görebiliriz. Yani $D=2$'dir. $$\implies 332A+20B+2666+130C\implies 166A+10B=1333+65C$$ Eğer $5$ modunda incelersek $$A\equiv 3\pmod{5}$$ elde edilir. $A\geq 4D$ olduğunu göz önüne alırsak $A=8$ elde edilir. $$\implies 1328+10B=1333+65C\implies 2B=13C+1$$ elde edilir. $B\leq 9$ olduğundan $C=1$ olmalıdır. $B=7$ bulunur. Dolayısıyla $B+C=8$ olur.