Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 03

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki şıklardan hangisindeki koşulları sağlayan tam olarak bir $ABC$ üçgeni vardır?

$\textbf{a)}\ s(\widehat{A})=45^{\circ},\ |AB|=2,\ |BC|=1$
$\textbf{b)}\ s(\widehat{A})=40^{\circ},\  s(\widehat{B})=80^{\circ},\ s(\widehat{C})=60^{\circ}$
$\textbf{c)}\ |AB|=7,\ s(\widehat{A})=20^{\circ},\ s(\widehat{B})=50^{\circ}$ 
$\textbf{d)}\ |AB|=1,\ |BC|=3,\ |AC|=5$
$\textbf{e)}\ s(\widehat{A})=30^{\circ},\ |AB|=3,\ |BC|=2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $C$'nin neden istenileni sağladığını gösterelim. Verilen açılardan üçgenin $20-50-110$ üçgeni olduğunu görürüz. Bir kenar uzunluğu verildiğinden sinüs teoreminden diğer kenarlar da bulunur. Bu yüzden bu şartı sağlayan tek üçgen vardır. Diğer şıkların neden olmadığını da gösterelim.

a) $|AC|=x$ dersek kosinüs teoreminden $2^2+x^2-2x\sqrt{2}=1$ bulunur. $x^2-2x\sqrt{2}+3=0$ denkleminin diskriminantı negatiftir, böyle bir üçgen yoktur.

b) Verilen üçgenin kenarlarına dair bir bilgi yok, o yüzden kenarları istediğimiz oranda büyültüp küçültebiliriz. Bu şartı sağlayan sonsuz üçgen vardır.

d) $1+3<5$ olduğundan üçgen eşitsizliğine uymaz. Böyle bir üçgen yoktur.

e) $|AC|=x$ dersek, kosinüs teoreminden $x^2+9-3x\sqrt{3}=4$ elde edilir. $x^2-3x\sqrt{3}+5=0$ elde edilir. Bu denklemin iki kökü olduğunu diskriminanttan görebiliriz. Köklerin pozitif olduğunu ise Vieta formüllerinden anlarız. Bu değerler kosinüs formülünü sağladıklarından üçgen eşitsizliğini de otomatik sağlayacaktır. Dolayısıyla bu şartı sağlayan $2$ üçgen vardır.