2006 Tübitak Ortaokul 1. Aşama Soru 20

[matematikolimpiyati]

$d$ tam sayısının kaç farklı değeri için, her biri $d$ ile bölünen ve toplamları $999$ olan $49$ pozitif tam sayı bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{D}$

Bu sayılar $da_1,da_2,\dots, da_{49}$ olsun. Bunların toplamı $d(a_1+a_2+\dots+a_{49})=999$ olacaktır. Öyleyse $d|999$ olmalıdır. $999=3^337$ olduğundan $d$ toplamda $16$ farklı değer alabilir. Öte yandan $49$ farklı pozitif tam sayının toplamı $49$ dan büyük veya eşit olmalıdır. O halde $\frac{999}{d}\geq 49$ olmalıdır. $d=1,3,9$ değerleri bunu sağlar. Bu sayıların hepsini $d$ bölüyorsa $-d$ de bölmelidir. Bu sebeple $d=-1,-3,-9$ da bunu sağlar. Toplam $6$ sayı bulunur.