Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 31

[matematikolimpiyati]

$x^3+y^3=x^2+y^2=1$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[alpercay]

Burada 3 boyutlusu sorulmuş: https://geomania.org/forum/index.php?topic=9433.msg26051#msg26051

Yanıt : $\boxed E$
Çözüm için $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$ ve $$(x+y)^2=1+2xy$$ özdeşliklerini kullanalım. $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
$$1=(x+y)(1-xy)$$  $$1=(x+y)^2(1-xy)^2$$  $$1=(1+2xy)(1-xy)^2$$ yazalım ve $xy=t$ diyelim. $$1=(1+2t)(1-t)^2$$ $$0=2t^3-3t^2$$ eşitliğinden $$t=xy=0,    t=xy=\dfrac{3}{2}$$  bulunur.

$xy=0$ ise  $1=(x+y)(1-xy)$ eşitliğinden $$x+y=1$$ ve buradan $(x,y)=(1,0)$  ve $(x,y)=(0,1)$  bulunur.

$xy=\dfrac{3}{2}$ ise $y=\dfrac{3}{2x}$  değeri $x^2+y^2=1$ denkleminde yerine yazılırsa $$4x^4-4x^2+9=0$$ ve $x^2=u$ denirse $$4u^2-4u+9=0$$  denklemi elde edilir.

Ancak $$4u^2-4u+9=(2u-1)^2+8=0$$ olarak yazılabildiğinden reel çözüm yoktur.

O zaman tek çözüm  $(x,y)=(1,0)$  ve $(x,y)=(0,1)$ şeklindedir.

[geo]

$x^2+y^2=1$ ise $-1\leq x,y \leq 1$.

$x<0$ ise $y^3 = 1 - x^3 > 1$ olduğu için buradan çözüm gelmez. Benzer şekilde $y<0$ için de çözüm yoktur.

$x=0$ ise $y=1$.
$y=0$ ise $x=1$.

$0\lt x,y \lt 1$ için $x^3 < x^2$ ve $y^3 < y^2$ olacağından $x^3+y^3 < x^2+y^2 = 1$ elde edilir. Yani buradan da çözüm gelmez.

Bu durumda toplamda $2$ çözüm vardır.

[alpercay]

Güzel ve sade bir çözüm, elinize sağlık. Biraz uzun ama şu klasik çözümü de eklemek isterim:
Kareli ve küplü eşitliklerden $y=\pm(1-x^2)^{1/2}$  ve  $y=(1-x^3)^{1/3}$ değerlerini birbirine eşitleyelim ve $6$ ıncı kuvvetlerini alalım. O zaman $$(1-x^3)^2=(1-x^2)^3$$ eşitliğinden $$2x^6-3x^4-2x^3+3x^2=0$$ eşitliğini ve çarpanlarına ayırarak $$x^2[2x^4-4x^2+2+(x-1)^2]=x^2(x-1)^2(2x^2+4x+3)=0$$ elde ederiz.

$x^2=0$ için $y=1$  ve $(x-1)^2=0$ için $y=0$ verilen eşitlikleri sağlar.  $2x^2+4x+3$ çarpanı ise daima pozitif olduğundan buradan reel kök gelmez.

Aranan çözümler $(0,1)$  ve  $(1,0)$ şeklinde olup bu noktalarda $x^2+y^2=1$ çemberinin  ve $x^3+y^3=1 $ kübik eğrisinin teğet olduğunu da söyleyebiliriz.

[geo]

Önceki çözümümün, çok az farklı hali:

$x^2+y^2=1$ ise $-1\leq x,y \leq 1$.
$x^3 \leq x^2$ olacaktır. Eşitlik durumu $x=0$ ve $x=1$ de sağlanır.
$y^3\leq y^2$ eşitsizliği ile taraf tarafa toplarsak $$x^3+y^3 \leq x^2+y^2 = 1$$ elde ederiz.
Sadece eşitlik durumlarını kontrol etmemiz yeterli:
$x=0$ ise $y=1$.
$x=1$ ise $y=0$.

Bu durumda toplamda $2$ çözüm vardır.

[geo]

$x^2 + y^2 = 1 \Longrightarrow x,y \leq 1$.

$x^2 - x^3 + y^2 - y^3 = 0 \Longrightarrow x^2(1-x) + y^2(1-y) = 0$ eşitliğinde sol taraf her zaman $\geq 0$ olacağı için eşitlik durumu $(0,1)$ ve $(1,0)$ iken sağlanır.