Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 29

[matematikolimpiyati]

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri dik kesişmektedir. $K$ ve $L$ noktaları$,$ sırasıyla $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde $|AK|=2|KB|$ ve $|CL|=2|LD|$ olacak şekilde alınıyor. $|AC|=48$ ve $|BD|=45$ ise $|KL|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 34  \qquad\textbf{b)}\ 36  \qquad\textbf{c)}\ 42  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 54$

[alpercay]

Yanıt:$\boxed {A}$
$AD$ doğru parçası üzerinde $AM=2MD$ olacak şekilde bir $M$ noktası alalım ve $ML$  doğru parçasını oluşturalım.  Bu durumda $DML$ üçgeni ile $DAC$ üçgeni benzer olacağından $$\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{ML}{AC}$$ $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{ML}{48}$$ orantısından $ML=16$  bulunur. $AMK$   ve $ADB$ üçgenlerinin benzerliğinden $$\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{KM}{BD}$$  $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{KM}{45}$$ eşitliğinden  $KM=30$ bulunur.
Köşegenler dik kesiştiğinden $KML$ dik üçgen olacağından bu üçgene Pisagor teoremi uygulanırsa $$KL^2=16^2+30^2$$  $$KL=34$$ bulunur.