Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 28

[matematikolimpiyati]

Bir düzgün $132$-genin $30$ köşesi kırmızı$,$ kalan $102$ köşesi ise mavi renge boyanmıştır. Her ikisi mavi olan komşu köşe ikilisi sayısı$,$ her ikisi kırmızı olan komşu köşe ikilisi sayısının $4$ katı ise farklı renkli komşu köşe ikilisi sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 22$

[vedatde]

Düzgün 132-genin köşeleri mavi ve kırmızıya boyanmıştır.
$m_1$ köşe arda arda maviye, hemen ardışıl olarak  $k_1$ köşe de ard arda kırmızıya boyansın.
Daha sonrada hemen köşeler ardışıl renk içermeyecek şekilde bir maviye bir kırmızıya boyansın.
$m_1-1=4\left(k_1-1\right)$
$m_1=4k_1-3$ olur.
Kalan ardışıl boyama olmayan mavi köşelerin sayısı, ardışıl boyama olmayan kırmızı
köşelerin sayısına eşittir.
$102-m_1=30-k_1$
$72=m_1-k_1$
$72= 4k_1-3-k_1$
$75=3k_1$
$25=k_1$ olur.
$m_1=97$
97 köşe ardışıl olarak maviye daha sonra hemen 25 köşe kırmızıya ve hemen 10 köşede
ardışıl renk içermeyecek şekilde bir mavi bir kırmızıya boyanır.
Öyleyse farklı renkli boyalı komşu köşe sayısı;
$1+\left(10-1\right)+1+1=12$ tanedir.
1 tane ardışıl mavi boyamadan bir kırmızı bir mavi boyamaya geçişte,
9 tane bir kırmızı bir mavi boyamada,
1 tane bir kırmızı bir mavi boyamadan ardışıl kırmızı boyamaya geçişte ve
1 tane ardışıl maviden ardışıl kırmızıya geçişte olmak üzere
$1+\left(10-1\right)+1+1=12$ tane farklı renkli boyalı komşu köşe vardır.