Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$91$ özdeş top bir sıraya dizilmiş $13$ farklı kutuya$,$ kutuların birinde $1,$ birinde $2,$ birinde $3,...,$ birinde $13$ top olacak biçimde dağıtılacaktır. Bu dağılım$,$ herhangi üç ardışık kutudaki top sayılarının toplamı $3$ ile tam bölünecek şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 136200  \qquad\textbf{b)}\ 136680  \qquad\textbf{c)}\ 137560  \qquad\textbf{d)}\ 138240  \qquad\textbf{e)}\ 139200$

[vedatde]

Kutulardaki top sayıları Mod 3 göre 0 , 1 ve 2 kalanını verir.
0 kalanını verenlerin sayısı 4 tane
1 kalanını verenlerin sayısı 5 tane
2 kalanını verenlerin sayısı 4 tanedir.
Herhangi üç ardışık kutudaki top sayılarının toplamının 3 ile tam bölünebilmesi için 2 çeşit uygun dizilim vardır. Diğer durumlarda yerleşim istenen şartı sağlamaz.

Böyle bir yerleşim,
 
1021021021021

Veya

1201201201201

Olacak şekilde 2 türlüdür.

Her iki yerleşimde 0’lar , 1’ler ve 2’ler kendi arasında sıralanacak olup, Toplam sıralama sayısı

$\left(2\right)\left(5!\right)\left(4!\right)\left(4!\right)=\left(2\right)\left(120\right)\left(24\right)\left(24\right)=\ 138240$ tanedir.