Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $I$ noktası iç açıortayların kesişim noktasıdır. $I$ noktasından geçip $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, $I$ noktasından geçip $AC$ doğrusuna paralel olan doğru ise $[BC]$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $|ID|=|IE|=12$ ve $|DE|=16$ ise $ABC$ üçgeninin çevresi nedir?

$\textbf{a)}\ 60  \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 80  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ 100$

[taftazani44]

Açılar yazılırsa ikizkenar olduğu görülmektedir.

[ygzgndgn]

(Yağız Gündoğan)

IDE üçgeni ikizkenardır dolayısıyla m(IDE)=m(IED)=a denir. Paralellik kullanılarak m(ABC)=m(ACB)=a olduğu görülür. Böylelikle m(EID)=m(BAC) bulunur. Buradan da IDE ve ABC üçgenlerinin benzer olduğu tespit edilir. (Açı-Açı-Açı) Eğer I merkezli iç teğet çember çizilip [BC]'ye indirilen dikme ayağına H denirse IH hem ABC'nin iç teğet çemberinin yarıçapı hem de IDE'nin DE kenarının yüksekliği olur. İkizkenarlıktan dolayı |DH|=8 olur. IDH üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa |IH|=4√5 olarak bulunur. IDE üçgeninin alanı buradan (16*4√5)/2=32√5 olarak bulunur. IDE'nin yarıçevresi ise (12+12+16)/2=20 olarak bulunur. S=u*r eşitliğinden IDE'nin iç teğet çemberinin yarıçapı (8√5)/5 olarak bulunur. ABC ve IDE üçgenleri benzer olduğundan aralarındaki benzerlik oranı ile iç teğet çemberlerinin yarıçaplarının oranı eşittir. Böylelikle benzerlik oranı (4√5)/(8√5/5)=5/2 olarak bulunur. Çevreler oranı benzerlik oranına eşit olduğundan 5/2=k/40 orantısı kurularak ABC üçgeninin çevresi 100 olarak bulunur.