Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$1,2,...,303$ sayıları bir çember etrafına dizilmiştir. Yan yana olup toplamları $7$ ile tam bölünen sayı ikililerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 291  \qquad\textbf{b)}\ 293  \qquad\textbf{c)}\ 295  \qquad\textbf{d)}\ 297  \qquad\textbf{e)}\ 299$

[vedatde]

Mod 7 göre sayılar 0,1,2,3,4,5,6 kalanının verirler. Bunlardan 
0 kalanını verenlerin sayısı 43 tane,
1 kalanını verenlerin sayısı 44 tane,
2 kalanını verenlerin sayısı 44 tane,
3 kalanını verenlerin sayısı 43 tane,
4 kalanını verenlerin sayısı 43 tane,
5 kalanını verenlerin sayısı 43 tane ve
6 kalanını verenlerin sayısı 43 tanedir.
Yan yana olup toplamlarının 7 ile bölünebilmesi için,
0  kalanını verenler yan yana $00000...$ şeklinde yazılmalı,
1 ve 6 kalanını verenler yan yana $161616....$ yada $616161....$ şeklinde yazılmalı,
2 ve 5 kalanını verenler yan yana $252525...$ yada $525252...$ şeklinde yazılmalı,
3 ve 4 kalanını verenler yan yana $343434...$ yada $434343....$ şeklinde yazılmalıdır.
$000...00$ şeklinde yazılan sayı ikilileri en fazla $43-1=42$ tane,
$1616..16$ yada $616161...$ şeklinde yazılan sayı ikilileri en fazla $43+44-1=86$ tane,
$252525 …$ yada $525252 …$ şeklinde yazılan sayı ikilileri en fazla   $43 + 44 - 1 =86$ tane,
$343434 …$ yada $434343 …$ şeklinde yazılan sayı ikilileri en fazla  $43 + 43 - 1 = 85$ tanedir.
Toplam olarak en fazla $42 + 86 + 86 + 85 =299$ tane sayı ikilileri vardır.