Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 05

[matematikolimpiyati]

Bir dışbükey çokgenin iç açılarından üçünün ölçüleri toplamı $390^{\circ}$ olup diğer iç açılarının her birinin derece cinsinden ölçüsü aynı bir tam sayıya eşittir. Buna göre bu çokgenin kenar sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 206  \qquad\textbf{b)}\ 209  \qquad\textbf{c)}\ 212  \qquad\textbf{d)}\ 215  \qquad\textbf{e)}\ 218$

[alpercay]

Yanıt $\boxed E$
Çokgenin kenar sayısı $n$, üç iç açısı $a_1,a_2,a_3$ ve eşit iç açıları $x$ ile gösterilsin. $a_1+a_2+a_3=390$ eşitliği veriliyor.
Dış açılar toplamı sabit $360^{\circ}$ olduğundan $$180-a_1+180-a_2+180-a_3+(180-x)(n-3)=360$$, $$150+(180-x)(n-3)=360$$, $$(180-x)(n-3)=210$$ esitliği yazılabilir. En çok ve en az durumları istendiğinden $210$ sayısının çarpanları içinden $n-3$ çarpanını en az ve en çok olacak şekilde seçmemiz gerekir. $$n-3=1,180-x=210$$ secimi bizi $x=-30$ negatif tam sayı sonucuna götüreceğinden $$n-3=2$$ secimini alırsak $n=5$ ve $x=75$ olacağından $$n_{min}=5$$ olmalıdir. $$n-3=210, 180-x=1$$ seçiminden de $$n_{max}=213$$ bulunur. Buna göre $$n_{min}+n_{max}=218$$ olur.