Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 04

[matematikolimpiyati]

Dört kutunun her birinde $1,2,3,4,5$ sayılarıyla numaralanmış beşer top bulunmaktadır. Bu yirmi toptan altı tanesi, her kutudan en az bir top ve
en az bir kutudan hem $1$ hem de $2$ numaralı topları almak koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 4320  \qquad\textbf{b)}\ 4350  \qquad\textbf{c)}\ 4370  \qquad\textbf{d)}\ 4390  \qquad\textbf{e)}\ 4420$

[vedatde]

Dört kutuda en az birer top almak koşuluyla 6 top almak;
Bir kutuda 3 diğer kutularda 1 ‘er top almak yada
iki kutuda 2’şer top diğer iki kutuda 1’er top almak şeklinde yapılabilir.

Bir kutuda 3 diğer kutularda 1 ‘er top alınırsa;
3 top alınan kutuda 1 ve 2 numaralı toplar koşul gereği alınmak zorundadır.
Bu kutuda kalan bir topuda 3 farklı şekilde alabiliriz. Diğer kutulardaki birer top da 5'er çeşit
seçilebilir. Topların hangi kutularda alındığını da düşünürsek $\frac{4!}{3!}=4$ çeşit vardır.
Tüm bunların çarpımı $=4.3.5^3=1500$ çeşit seçim yapılabilir.

İki kutuda 2'şer adet diğer iki kutuda da 1 ‘er top alınırsa;
İki kutuda 2'şer top alındığında bu kutuların en az birinde 1 ve 2 numaralı toplar koşul gereği
alınmak zorundadır.
Tüm bu durumların sayısı $1+9+9=19$ çeşittir.
Diğer 1'er top alınan kutularda da 5'er çeşit seçme yapılabilir.
Topların hangi kutularda alındığını da düşünürsek  $\frac{4!}{2!2!}=6$ çeşit vardır.
Tüm bunların çarpımı $=6.19.5^2=2850$ çeşit seçim yapılabilir.

Öyleyse Toplam olarak $=1500+2850=4350$ çeşit seçim yapılabilir.