Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{n^3-31}{n^2-7}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 28  \qquad\textbf{e)}\ 36$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\dfrac{n^3-31}{n^2-7} = \dfrac{n^3-7n}{n^2-7} + \dfrac{7n-31}{n^2-7}= n + \dfrac{7n-31}{n^2-7}$ biçiminde yazalım. Bu ifadenin tam sayı olması için $m = \dfrac{7n-31}{n^2-7}$ ifadesi de tam sayı olmadır.

$n = 1$ için $m = 6$ tam sayıdır.
$n = 2$ için $m = 17/3$ tam sayı değildir.
$n = 3$ için $m = -5$ tam sayıdır.
$n = 4$ için $m = -1/3$ tam sayı değildir.

Ayrıca $n\geq 5$ için $n^2-7>0$ ve $7n-31>0$ olup $7n - 31 < n^2-7$ dir. Çünkü bu eşitsizlik $n^2 - 7n + 24>0$ eşitsizliğine denktir. Böylece $0<m<1$ olup $m$ bir tam sayı değildir. $n\geq 5$ durumunda tam sayı çözüm yoktur.

$n$'nin uygun değerlerinin toplamı $1 + 3 = 4$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen ifadenin tamsayı olması ile $(n^3-31,n^2-7)=|n^2-7|$ olması denktir ($(x,y)$ notasyonu $x$ ve $y$'nin EBOB'unu gösterir). $$(n^3-31,n^2-7)=(n^3-31-n(n^2-7),n^2-7)=(7n-31,n^2-7)$$ $7n-31$ ifadesi $7$'nin katı olamayacağından $$(7n-31,n^2-7)=(7n-31,7n^2-49)=(7n-31,7n^2-49-n(7n-31))=(7n-31,31n-49)$$ Benzer şekilde $31n-49$ ifadesi de $31$'in katı olamayacağından $$(7n-31,31n-49)=(31(7n-31),7(31n-49))=(217n-961,217n-343)=(217n-961,217n-343-(217n-961))=(217n-961,618)$$ olur. Yani $|n^2-7|=(217n-961,618)$ olur. Buradan $|n^2-7|$ ifadesi $618=2\cdot 3\cdot 103$'ün bir böleni çıkar. Eğer $|n^2-7|=1,2,3,6,103,206,309,618$ için incelersek sadece $|n^2-7|=2,3$ veya $6$ olabileceğini görürüz. Buradan da $n=1,3$ çözümleri gelir. Yerine koyup denersek sağladıkları görülür. Dolayısıyla cevap $1+3=4$'dür.