Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 29

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|=3\sqrt2$ ve $|BC|=2\sqrt2$ dir. $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ ve $B$ noktasından $[AC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. Buna göre $D$ den geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ noktasında teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac54  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac34  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac14$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed C$

Çemberin merkezini $O$ ile gösterelim ve $A$ ve  $D$ noktalarını ve $O$ ve $D$ noktalarını birleştirelim. $OD=OE=r$ olsun. $ABC$ ikizkenar olduğundan $AD$ doğrusu $BC$ tabanına dik olur. $D$ ve $E$ noktalarını birleştirirsek diklikten dolayı $BDE$ ve $DEC$ üçgenleri  $BD=DE=DC=\sqrt 2$  birim olan  ikizkenar üçgenler olur. $m(\widehat {DAC}) =\alpha, m(\widehat {ACD})=\theta$ dersek $m(\widehat {EBD})=m(\widehat {BED})=\alpha$ ve $m(\widehat {EDC})=2\alpha$ olur. Buna göre $ADC$ ve $BEC$ üçgenlerin benzerliğinden $$EC/DC=BC/AC$$ ve  $$\dfrac{EC}{\sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2}{3\sqrt 2} $$ eşitliğinden $EC=\dfrac{2\sqrt 2}{3}$ bulunur. Şimdi $EDC$ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak $$\left (\dfrac{2\sqrt 2}{3}\right )^2=4-4\cos 2\alpha$$ eşitliğinden $\cos 2\alpha =7/9$ bulunur. Şimdi de $DOE$ üçgeninde kosinüs teoremi yazarak $$2=2r^2-2r^2\cos (180^\circ-2\alpha)
$$ eşitliğinden $r=3/4$ bulunur.

[geo]

Çemberin merkezi $[BE]$ üzerinde, $OE = OD$ olacak şekilde alınan, bir $O$ noktasıdır.
$\triangle BEC$ dik üçgeninde $BD=DC$ olduğu için $ED=BD = \sqrt 2$ dir.
$\angle DAE = \angle EBC = \angle BEC = \angle ODE = \alpha$ dır.
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 16 \Rightarrow AD = 4$.
$DE$ nin orta noktası $M$ olsun. $\cos \alpha = \dfrac {AD}{AB} = \dfrac {DM}{OD} \Rightarrow \dfrac {4}{3\sqrt 2} = \dfrac {\dfrac {\sqrt 2}{2}}{OD} \Rightarrow OD = \dfrac {3}{4}$.

Not: Bu sorunun benzeri Ortaokul 2. Aşama 1997/2 de sorulmuş. Söz konusu sorunun AoPS forumlarında çözümü mevcuttur.

Yine benzer bir soru, AoPS forumunda yakın zamanda soruldu.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

Bahsi geçen çember $BC$  ile ikinci defa $F$  noktasında kesişsin. $AE=\dfrac{7\sqrt{2}}{3}$  ve $EC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$  tür. Buna göre çemberin $C$'ye göre kuvvetinden $\dfrac{8}{9}=CF.\sqrt{2}\Longleftrightarrow CF=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$  olur. Yani $DF=\dfrac{5\sqrt{2}}{9}$  dur. Benzer şekilde $CE/CD=EF/ED$  olduğundan $EF=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$  tür. $\sin(\angle EDF)$ yi bulalım:
$$[DEC]=\dfrac{[BEC]}{2}=\dfrac{[ABC]}{9}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin(\angle EDF)$$
O zaman $\sin(\angle EDF)=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$ ve $2R=\dfrac{EF}{\sin(\angle EDF)}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.\dfrac{9}{4\sqrt{2}}=3/2$ olur, yarıçap $R=3/4$  tür.