Cevap: $\boxed{E}$
Verilen eşitliği $9$ modunda inceleyelim. Eğer $z<0$ ise eşitliğin sol tarafı tamsayı iken sağ tarafı olmaz. Eğer $z>0$ ise $$x^3-y^3\equiv 60\equiv 6\pmod{9}$$ fakat herhangi bir tamsayının küpü $9$ modunda sadece $0,1,8$ kalanlarını verir, dolayısıyla $x^3-y^3$ ifadesi $6$ kalanı veremez.
Geriye sadece $z=0$ durumu kalır. Denklem $x^3-y^3=61$ olur. Öncelikle burada $x>y$ olduğunu görelim. $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=61$$ olduğundan $x-y=1$ veya $x-y=61$ olabilir.
i) $x-y=1$ ise $x^2+y^2+xy=61$'dir. $x=y+1$ yazarsak $$(y+1)^2+y^2+y(y+1)=3y^2+3y+1=61\implies y^2+y-20=(y+5)(y-4)=0$$ Buradan $(x,y,z)=(-4,-5,0)$ ve $(5,4,0)$ çözümleri elde edilir.
ii) $x-y=61$ ise $x^2+xy+y^2=1$ elde edilir. $x=y+61$ yazarsak $$(y+61)^2+y(y+61)+y^2=3y^2+183y+61^2=1\implies y^2+61y+1240=0$$ fakat bu denklemin diskriminantı $\Delta=61^2-4\cdot 1240=-1239<0$ olduğundan çözümü yoktur.
Yani denklemin toplamda $2$ adet tamsayı çözümü vardır.
