Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 25

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ kenarına indirilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. $|AD|=1$, $|DC|=2$ ve $2|AB|^2+|BC|^2=18$ ise $|AB|-|DE|$ farkının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{\sqrt3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Stewart'tan $BD^2=\dfrac {2AB^2+BC^2}{3}-2=4$.
$DE = x$ ve $AB=c$ olsun.
Pisagor'dan $BE^2= CE^2 = 4 - x^2$ ve $BC^2 = 4(4-x^2)=16-4x^2$.
$2c^2 + 16 - 4x^2 = 18 \Rightarrow c = \sqrt{2x^2+1}$.
$y = c - x = \sqrt{2x^2+1} - x$ sayısının en küçük değerini arıyoruz.

Türev kullanarak,  $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}} -1=0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt 2}$ ve $y_{\min{}} = \sqrt 2 - \dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{1}{\sqrt 2}$ elde edilir.

[geo]

Bu sorunun daha yalın bir hali şöyle sorulabilir.

$ABCD$ paralelkenarında $AB = BD$ ise $AC - BC \geq  \dfrac {AB}{\sqrt 2}$ olduğu gösteriniz.

Bu soruya geometrik bir çözüm, henüz bulamadım. Belki bu yalın hal üzerinden birileri geometrik çözüme gidebilir.

[geo]

$y$ nin en küçük değerini türev kullanmadan aşağıdaki gibi elde edebiliriz.
$y=\sqrt{2x^2+1}-x=\sqrt{\left (x-\dfrac 1{\sqrt 2}\right )^2+\left (x+\dfrac 1{\sqrt 2}\right )^2}-x\geq \sqrt{0+\left (x+\dfrac 1{\sqrt 2}\right )^2}-x=\dfrac 1{\sqrt 2}$

[geo]

$c^2 = 2x^2 + 1$ den devam edelim.

$AO \geq GO$ uygularsak: $c^2 = 2x^2 + 1 \geq 2x \sqrt 2$

$2c^2 = c^2 + 2x^2 + 1 \geq 2x^2 + 1 + 2x\sqrt 2$

$(c\sqrt 2)^2 \geq (x\sqrt 2 + 1)^2$

$c \sqrt 2 \geq x\sqrt 2 + 1$

$c-x \geq \dfrac 1{\sqrt 2}$

Eşitlik $2x^2 = 1 \Rightarrow x = \dfrac {1}{\sqrt 2}$ iken sağlanır.

Kaynak: AoPS