Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 24

[matematikolimpiyati]

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, her satırda ve her sütunda en fazla $3$ farklı sayı olacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu tahtanın tamamında en fazla kaç farklı sayı yer alabilir?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 14$

[Lokman Gökçe]

$11$ sayının yerleştirilebildiğine örnek verebiliriz.

Önce $1, 2, 3$ sayılarını şekildeki gibi yerleştirelim.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 1 & 1 & 1 &  \text{ } & \text{ }  \\ \hline
 1 & 1 & 1 &  &  \\ \hline
 1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
 \text{ } & \text{ } & 2 & 2 & 2 \\ \hline
 \text{ } & \text{ } & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}
$$

Sonra kalan boş yerlerin her birine $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11$ sayılarından birer tane gelecek şekilde yerleştirelim.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 1 & 1 & 1 & 4 & 5 \\ \hline
 1 & 1 & 1 & 6 & 7 \\ \hline
 1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
 8 & 9 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
 10 & 11 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}
$$

$11$ den daha fazla sayı yerleştirilemeyeceğini de ispatlamalıyız. Bu kısmı, yayınlanan resmi çözüm kitapçığından aktarıyorum:

Her satırda en fazla $2$ farklı sayı varsa, tahtada en fazla $5 \cdot 2 = 10$ farklı sayı olabilir. Sadece bir satırda $3$ farklı sayı olsun. Kalan $4$ satırın her birinde, bu $3$ sayıdan en az bir tanesi bulunuyorsa, tahtada en fazla $3 + 4 \cdot 2 = 11$ farklı sayı olabilir. Son olarak, bir satırda $a, b, c$ bir diğer satırda bu sayılardan farklı $d, e, f$ sayılarının bulunduğu durumu inceleyelim. Bu durumda, her sütunda bu $6$ sayıdan farklı en fazla bir yeni sayı olabilir ve buna göre, tahtada en fazla $6 + 5 \cdot 1 = 11$ farklı sayı olur.