Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 22

[matematikolimpiyati]

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $p \mid a-b^2,\ p \mid b-a^2$ ve $p \nmid a-b$ olacak şekilde $a$ ve $b$ tam sayıları varsa $p$ ye tuhaf asal sayı diyelim. $73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97$ asal sayılarından kaç tanesi tuhaftır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle verilen ifadeleri $p$ modunda düzenleyelim. $$a\equiv b^2\equiv \left(a^2\right)^2\equiv a^4\pmod{p}$$ olacaktır. Eğer $(a,p)\neq 1$ ise $a\equiv b\equiv 0$ olacağından istenilen şartlar sağlanmaz. Eğer $a\equiv 1$ ise de benzer şekilde $a\equiv b\equiv 1$ olacaktır. Buradan $$a^4-a\equiv a(a-1)(a^2+a+1)\equiv 0\pmod{p}\implies a^2+a+1\equiv 0\pmod{p}$$ elde edilir. Benzer şekilde $b$ de $b^2+b+1\equiv 0\pmod{p}$ denkliğini sağlar. İfadeleri tamkareye dönüştürürsek (verilen asallardan dolayı $p$ tek olsun diyebiliriz), $$(2a+1)^2\equiv (2b+1)^2\equiv -3\pmod{p}$$ elde edilir. Burada $a$ ve $b$'nin farklı seçilebileceğini ekstradan göstermeye gerek yok çünkü $a$'yı $0,1$'den farklı olduğunu kabul ettiğimizden $a\not\equiv a^2$ olacaktır. Yani $-3$ karekalan olsa yeterlidir. Verilen asallar $3$'ten büyük olduğundan $(p,3)=1$'dir. Buradan $$\left(\dfrac{p}{3}\right)\left(\dfrac{3}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=\left(\dfrac{-1}{p}\right)\implies \left(\dfrac{p}{3}\right)=\left(\dfrac{-3}{p}\right)$$ Yani $-3$ karekalan olması için $p\equiv 1\pmod{3}$ olmalıdır. Buradan da şartı sağlayan asalların $73,79,97$ olduğunu görürüz.