Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $M$ olsun. $[AC]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası, $[AE]$ üzerinde ise bir $F$ noktası alınıyor. $s(\widehat{DEC})=s(\widehat{DFM})=90^{\circ}$, $|AF|=4$ ve $|EC|=18$ olduğuna göre $ABCD$ dikdörtgeninin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 156  \qquad\textbf{b)}\ 192  \qquad\textbf{c)}\ 250  \qquad\textbf{d)}\ 312  \qquad\textbf{e)}\ 390$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$DFMC$ dörtgeni, $\angle DFM + \angle DCM = 180^\circ$ olduğu için bir kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $\angle MDC = \angle CFM = \alpha$.
$\angle EFD = 90^\circ - \alpha$ ve $\angle FDE = \alpha$ dır.
$\triangle MAB \cong \triangle MDC$ olduğu için $\angle MAB = \angle MDC = \alpha$.
$\angle FDA = \beta$ olsun. $\angle EDA = \angle BAC = \alpha + \beta$, dolayısıyla $\angle MAC = \beta$ olacaktır.
$(AA)$ dan $\triangle BAC \sim \triangle EDA$ olduğu için, bu üçgenlerin kenarortayları da benzerdir. Bu durumda $AM$ kenarortayı ile $BA$, $\alpha$ lık bir açı yaptığı için, $DF$ de $\triangle EDA$ da kenarortaydır. Bu durumda $AF=FE=4 \Rightarrow AE=8$ olur.
Öklit'ten $DE^2 = AE \cdot EC \Rightarrow DE^2 = 8\cdot 18 \Rightarrow DE = 12$
$[ADC] = \dfrac {12 \cdot (8+18)}2 \Rightarrow [ABCD] = 12\cdot 26 = 312$ dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$

DFMC kirişler dörtgenidir.
$\angle{FMD}=\angle{FCD}=\beta$ olsun.
Dolayısıyla $\angle{FDM}=\angle{EDC}=\alpha$ diye adlandıralım.
$\rightarrow \angle{FDE}=\angle{MDC}=\angle{MFC}$ olur.
$\triangle{DCM} \sim \triangle{DEF}$ ve $\triangle{DEC} \sim \triangle{ADC}$
$\dfrac{|DC|}{|DE|}=\dfrac{k}{x}$

$\dfrac{|DE|}{2k}=\dfrac{|DC|}{|AC|}$ yani $\dfrac{|DC|}{|DE|}=\dfrac{|AC|}{2k}$
Yani $\dfrac{|DC|}{|DE|}=\dfrac{k}{x}=\dfrac{|AC|}{2k}$ ve $x|AC|=x\left(x+22\right)=2k^2$
Öklid'ten ise $4k^2=\left(x+4\right)\left(x+22\right)$ olduğundan
$x=4$ çıkar. Buradan sonra ise $|DE|=12$ ve alan 312 çıkar.