Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2=87$ ve $x_1+2x_2+ \cdots + nx_n=51$ eşitliklerini sağlayan $x_1,x_2,...,x_n$ gerçel sayıları bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $$\left(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\right)\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)\geq \left(x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n\right)^2$$ $$\implies 87\cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\geq 51^2\implies n(n+1)(2n+1)\geq \dfrac{5202}{29}\implies n(n+1)(2n+1)\geq 180$$ Eşitsizliğin sol tarafı artan olduğundan ve $n=4$ için $180$'e eşit olduğundan $n\geq 4$ olmalıdır.

$n=4$ için $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,3,5,7)$ sağlar.

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

İkinci eşitliğin $2$ katını alıp taraf tarafa çıkarma yapılırsa
$$\sum_{i=0}^n (a_i-i)^2-i^2=-15$$ elde edilir. Buda $$\sum_{i=0}^n (a_i-i)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-15$$ şeklinde yazılabilir. Yani $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\geq15$$ olur. Buradan $n\geq4$ olur. Örnek durum olarak $(2,3,5,7)$ verilebilir.