Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında teğet olan bir çember $[AB]$ kenarını $F$ ve $G$ noktalarında kesmektedir. $F$ noktası $A$ ile $G$ arasında, $|AB|=81$, $|BC|=72$, $|AC|=63$ ve $|CD|=45$ ise $|GB|-|AF|$ farkı nedir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilenlerden $|AD|=18$, $|BE|=27$ olur. $|GB|=x$, $|AF|=y$ diyelim. $|GF| = 81 - x - y$ olacaktır.
$B$ noktasına göre kuvvet yazılırsa $$27^2=x\cdot (81-y)$$ ve $C$ noktasına göre kuvvet yazılırsa $$18^2=y\cdot (81-x)$$ elde edilir. Taraf tarafa çıkarırsak $81(x-y) = 27^2 - 18^2 = 9 \cdot 45 \Rightarrow x - y = 5$ elde ederiz.