Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$x,y,z \geq -2$ olmak üzere,
$$\begin{array}{lcl}
x^3 + 2 &=& 5y+z \\
y^3 + 2 &=& 2z+7x \\
z^3 + 2 &=& -2y-4x
\end{array}$$
denklem sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen denklemleri taraf tarafa toplarsak $x^3+y^3+z^3+6=3x+3y+3z$ buluruz. Bu ifadeyi tek tarafta toplarsak $$(x^3-3x+2)+(y^3-3y+2)+(z^3-3z+2)=\sum{(x-1)^2(x+2)}=0$$ elde edilir. $(t-1)^2(t+2)$ polinomu $t\geq -2$ için negatif olamayacağından $t=x,y,z$ için toplamların $0$ etmesinin tek yolu her biri için $0$'a eşit olmasıdır. Buradan $x,y,z$ sayıları $1$ veya $-2$ bulunur.

Eğer $x=-2$ ise ilk denklemden $5y+z=-6$ bulunur fakat $y$ ve $z$ sayıları da $1$ veya $-2$ olduğundan çözüm gelmez.

Eğer $x=1$ ise $5y+z=3$ elde edilir. Bu denklem sadece $(y,z)=(1,-2)$ için sağlanır. Yani sadece $(x,y,z)=(1,1,-2)$ çözümü elde edilir. Bu üçlünün diğer denklemleri sağladığı görülebilir.