Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$p>3$ bir asal sayı olmak üzere, $4p+91$ ve $12p+7$ sayıları da asal sayılar ise aşağıdakilerden hangisi bir asal sayı olabilir?

$\textbf{a)}\ p^2+6  \qquad\textbf{b)}\ p^2-4  \qquad\textbf{c)}\ 8p+1  \qquad\textbf{d)}\ 2p+11  \qquad\textbf{e)}\ p+2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$p>3$ verildiğinden dolayı $p\equiv 1,2\pmod{3}$ olabilir ancak $p\equiv 2\pmod{3}$ olması durumunda $4p+91\equiv 0\pmod{3}$ olacağından ve ifade $3$'e eşit olmadığından sonuç çıkmaz. Yani $p\equiv 1\pmod{3}$ olmalıdır. Bu durumda $B$, $C$, $E$ şıklarındaki ifadeler $3$'ün katı olurlar ve $3$ olamayacaklarından elenirler. Ayrıca $p=5$'in sağlanmadığı ve $5$ modunda incelendiğinde $(4p+91),(12p+7)\not\equiv 0\pmod{5}$ olması gerektiğinden dolayı $p\equiv 2,3\pmod{5}$ olması gerektiği görülür. Yani $p^2+6\equiv 4+6\equiv 0\pmod{5}$ olacaktır. Bu durumda $p^2+6>5$ ifadesi de asal değildir.

Geriye sadece $2p+11$ kalır ki $p=43$ için istenilen durum sağlanır.