Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$|AB|=1$, $|BC|=2$ ve $m(\widehat{ABC})=90^{\circ}$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası, $B$ noktasının $AC$ doğrusuna göre simetriği olsun. $[AB]$ ve $[BC]$ kenarlarına teğet olan ve $D$ noktasından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac34  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac45$

[geo]

Yanıt: $\boxed {E}$

Çemberin merkezi $O$ olsun. Çember, $BC$ ye $E$ noktasında, $AB$ ye $F$ noktasında dokunsun.

$OE=OF=r$ olduğu için $BEOF$ bir karedir.
$OF$ ile $BD$, $G$ noktasında kesişsin.
$\angle BCA = \angle ABD = \alpha$ ve $\tan \alpha = 1/2$ olduğu için $FG =GO = r/2$ dir.
$O$ dan $AB$ ye çizilen paralel $BD$ ile $X$ noktasında kesişsin. $FG/GO = BF/OX \Rightarrow OX = r$ olduğu için $X=D$ dir. Bu durumda $\angle DOF = 90^\circ$ ve $D, O, E$ doğrusaldır.
$\triangle DEB$ dik üçgeninde $BD^2 = BE^2 + DE^2 = r^2 + (2r)^2 = 5r^2$.
$\triangle ABC$ de hipotenüse ait yükseklik $\dfrac {AB\cdot BC}{AC} = \dfrac {2}{\sqrt 5}$ olduğu için $BD= \dfrac {4}{\sqrt 5} = 2r^2 \Rightarrow r = \dfrac {4}{5}$.

[RazorRizelim]

B=(0,0) ,A=(0,1), C=(2,0) alalım D'den BC'ye indirilen dikmenin ayağı E olsun ve BE=h diyelim. Açı takibinden
\[
\triangle BDE \sim \triangle CBA
\]
elde edilir. Buradan
\[
\frac{DE}{BE}=\frac{BC}{BA}=2
\]
olur. Dolayısıyla DE=2h ve
\[
D=(h,2h)
\]
yazabiliriz.

BD'nin orta noktası
\[
M=\left(\frac{h}{2},h\right)
\]
olur ve M, AC üzerindedir. Buradan oluşan benzerlikten
\[
\frac{h/2}{1-h}=2
\]
elde edilir ve
\[
h=\frac{4}{5}
\]
bulunur. Böylece
\[
D=\left(\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right).
\]

Çember \(AB\) ve \(BC\)'ye teğet olduğundan merkezi \((r,r)\), yarıçapı \(r\)'dir. \(D\) çember üzerinde olduğundan
\[
\left(\frac{4}{5}-r\right)^2+\left(\frac{8}{5}-r\right)^2=r^2
\]
yazılır. Bu denklemi düzenlersek
\[
5r^2-12r+4=0
\]
elde edilir. Buradan
\[
r=2 \quad \text{veya} \quad r=\frac{4}{5}
\]
bulunur. Çember üçgenin içinde olduğundan \(r<1\) ve sonuç
\[
\boxed{\frac{4}{5}}
\]
olur.