Cevap: $\boxed{E}$
$0,2,4,6$ elemanlı altkümeler seçebiliyoruz ve $\emptyset$ ile $S$ kümelerinin istenilen şartı diğer kümeler nasıl seçilirse seçilsin sağlayacaktır. Bu yüzden önemli olan $2$ ve $4$ elemanlı kümelerden seçim yapmaktır.
Eğer $2$ farklı $2$ elemanlı altkümenin kesişimi boş küme değilse kesişimleri $1$ elemanlı olacaktır. Bu yüzden seçilen iki elemanlı kümeler ayrık olmalıdır. Toplamda $6$ eleman olduğundan en fazla $3$ tane iki elemanlı küme seçilebilir.
Eğer $4$ elemanlı $4$ tane veya daha fazla altküme seçersek, bunların ikişerli kesişimi $2$ eleman içermelidir çünkü ayrık olamazlar (toplamda $6$ eleman var fakat iki kümede toplam $8$ eleman var). Bu altkümelerden farklı $A,B,C,D$ seçelim ve $A\cap B=\{a,b\}$ diyelim,
$C\cap D=\{a,b\}$ ise bu dört kümenin herhangi ikisinin kesişimi $\{a,b\}$ olmalıdır fakat her kümede $a,b$ dışında $2$ eleman daha vardır ve bunlardan toplamda $8$ eleman gelir. $S$ kümesi $6$ elemanlı olduğundan bunların hepsinin farklı olması imkansızdır.
$C\cap D=\{a,c\}$ ($b\neq c$) ise $a$ elemanı bu dört kümenin hepsinde vardır. Bu yüzden $A\cap B\cap C\cap D =\{a\}$ olur. Ayrıca $C$ ve $D$'den tam olarak bir tanesi $b$'yi içerdiğinden $|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|=2+1=3$ olur. Benzer şekilde $|A\cap C\cap D|+|B\cap C\cap D|=3$ olur. İçerme-dışarma prensibinden $$|A\cup B\cup C\cup D|=\sum _{X}|X|-\sum_{X\neq Y} |X\cap Y|+\sum_{X\neq Y, X\neq Z, Y\neq Z}|X\cap Y\cap Z|-|A\cap B\cap C\cap D|$$ $$=4\cdot \dbinom{4}{1}- 2\cdot \dbinom{4}{2}+6-1=9$$ olur fakat bu imkansızdır.
Eğer $C\cap D=\{c,d\}$ ise ($\{c,d\}\cap \{a,b\}=\emptyset$) $a$ ve $b$ elemanlarından biri $C$'de diğeri $D$'dedir. Buradan $|A\cap B\cap C|=1$ bulunur. Benzer şekilde diğer tüm üçlü kesişimler de tek elemanlıdır. İçerme-dışarma prensibinden $$|A\cup B\cup C\cup D|=\sum _{X}|X|-\sum_{X\neq Y} |X\cap Y|+\sum_{X\neq Y, X\neq Z, Y\neq Z}|X\cap Y\cap Z|-|A\cap B\cap C\cap D|$$ $$=4\cdot \dbinom{4}{1}- 2\cdot \dbinom{4}{2}+4-0=8$$ olur ve bu da imkansızdır. Dolayısıyla $4$ elemanlı en fazla $3$ altküme seçilebilir. Toplamda en fazla $1+1+3+3=8$ altküme seçilebilir. Buna örnek olarak, $$\emptyset, \{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{1,2,3,4\},\{1,2,5,6\},\{3,4,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}$$ altkümeleri örnek verilebilir.
