Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 05

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarına ait kenarortay ile $B$ açısının iç açıortayı $D$ noktasında dik kesişmektedir. $CD$ doğrusunun $[AB]$ kenarını kestiği nokta $E$ ise $\dfrac{|BC|}{|AE|}$ nedir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed B$
 
$D$ noktasından $BC$ kenarına çizilen paralel $AB$ kenarını $L$ noktasında kessin. Bu durumda $DL$ orta taban ve $m(LDB)=m(LBD)$ olacağından $BLD$ üçgeni ikizkenar olur. $BF=6k$, $BL=LA=LD=3k, EL=k$ diyelim. $ABF$ üçgeninde $CE$ kesenine göre Menelaüs teoremini uygulayarak  $$\dfrac{BE}{AE}=2$$ bulunur. $BE=4k$, $AE=2k$ ve $AF$ kenarortay olduğundan $BC=12k$ alınırsa $$\dfrac{BC}{AE}=6$$ olarak bulunur.

[geo]

$BN$ söz konusu açıortay, $AM$ de kenarortay olsun.
$D$ noktası için Ceva teoremi uygulandığında $AE/BE = AN/NC$ olacaktır. Bu da $EN \parallel BC$ demektir. $\angle ENB = \angle NBC = \angle EBN$ olduğu için $EN=EB$.
$\triangle ABM$ de, açıortay yükselik olduğu için $AB=BM$ elde edilir.
$AE=x$ ve $AB=c$ dersek, $BC=2c$ ve $AE/AB = EN/BC \Rightarrow \dfrac xc = \dfrac {c-x}{2c} \Rightarrow c = 3x$ elde ederiz. Bu durumda $\dfrac {BC}{AE} = \dfrac {6x}{x} = 6$ olur.