2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$\left[x \right]$, $x$'in tam değer fonksiyonu olmak üzere, $\{x\}=x-\left[x \right]$ olarak tanımlansın. Her $x$ reel sayısı için, $x=f(x)+f(\{x\})$ eşitliğini sağlayan $f$ fonksiyonunun $x=-\dfrac{17}{7}$ noktasındaki değeri nedir?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{31}{14}  \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac{19}{7}  \qquad\textbf{c)}\ -3  \qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{19}{14}  \qquad\textbf{e)}\ -\dfrac{31}{7}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Eğer $x\in [0,1)$ seçersek, $x=\{x\}$ olacağından $f(x)=\frac{x}{2}$ bulunur. Dolayısıyla, $$x=f(x)+f(\{x\})=f(x)+\frac{\{x\}}{2}\implies f(x)=x-\frac{\{x\}}{2}$$ elde edilecektir. $x=-\frac{17}{7}$ için $\{x\}=\frac{4}{7}$ olduğundan $$f\left(-\frac{17}{7}\right)=-\frac{17}{7}-\frac{2}{7}=-\frac{19}{7}$$ bulunur.