1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Düzlemde $xOy$ dik koordinat sisteminde $x^2+y^2=9$ çemberine $(2, \sqrt5)$ noktasında teğet olan ve $(4, \sqrt5)$ noktasından geçen çemberin sınırladığı bölgenin alanı kaç $\pi$'dir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac92  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac94$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$(0,0)$ ve $(2,\sqrt{5})$'den geçen doğru $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ doğrusudur. Sorulan çemberin merkezi de bu doğru üzerindedir. Bu çemberin merkezi $(2k,k\sqrt{5})$ olsun. Bu noktanın merkeze uzaklığı $3k$ olduğundan ve orijin merkezli $3$ br yarıçaplı çembere teğet olduğundan, yarıçapı $|3k-3|$ (dışarıdan teğet veya yarıçapı küçük ve içeriden teğet) veya $3k+3$'dür (yarıçapı büyük ve içeriden teğet). İkinci durumda merkezin üçüncü bölgede olması gerekir çünkü teğet noktası birinci bölgededir. $(4,\sqrt{5})$'e olan uzaklık da bu olmalıdır. Eğer $|3k-3|$ ise $$(4-2k)^2+(\sqrt{5}-k\sqrt{5})^2=(3k-3)^2\implies k=\frac{3}{2}$$ elde edilir. $3k+3$ ise $$(4-2k)^2+(\sqrt{5}-k\sqrt{5})^2=(3k+3)^2\implies k=\frac{3}{11}$$ elde edilir ancak merkez üçüncü bölgede olmadığından bu bir çözüm olmaz.

Sonuç olarak $k=\frac{3}{2}$, yani yarıçap $|3k-3|=\frac{3}{2}$'dir. Bu dairenin alanı ise $\frac{9\pi}{4}$'dür.