1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$2000$'den küçük pozitif $n$ tamsayılarından kaç tanesi için $n^{2000}-1$ sayısı $10$ ile tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 300  \qquad\textbf{c)}\ 400  \qquad\textbf{d)}\ 600  \qquad\textbf{e)}\ 800$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Soru Lise 1-2 Soru 2 ile neredeyse aynıdır. $n$'nin tek ve $5\mid n^{2000}-1$ olmalıdır. Fermat teorimden, $$n^{2000}\equiv n^{400}\equiv n^{80}\equiv n^{16}\equiv n^{15}\cdot n\equiv n^{4}\equiv 1\pmod{5}$$ olmasını istiyoruz. Bu da sadece $n$'nin $5$ ile aralarında asal olduğu durumlarda geçerlidir. $n$'nin son basamağı $1,3,7,9$'dan biri ise istenilen sağlanır. $n$'nin binler basamağı $0$ veya $1$ olabilir, onlar ve yüzler basamağı onar değer alabilir, birler basamağı ise $4$ değer alabilir. Toplamda $2\cdot 10\cdot 10\cdot 4=800$ tane istenilen formatta sayı vardır.