Cevap: $\boxed{B}$
Eşitsizliği açarsak, $$2x^2+ax+b-1\leq 0\text{ ve }0\leq 2x^2+ax+b+1$$ elde ederiz. Başkatsayısı pozitif olan bir ikinci dereceden polinomun negatif değer alması için $x$'in, polinomun iki kökü arasında olması gerekir. Pozitif değer alması içinse ya polinomun kökü olmamalıdır, ya büyük kökten daha büyük, ya da küçük kökten daha küçük olmalıdır.
$2x^2+ax+b-1$ polinomu $x\in [-1,1]$ aralığında sıfır veya negatif olduğundan kökleri $x_1,x_2$ ise $[-1,1]\subseteq [x_1,x_2]$ olmalıdır. Bu da $x_1\leq -1$ ve $x_2\geq 1$ olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak $x_1x_2\leq -1$'dir. Vieta formülünden $b\leq -1$ bulunur.
$2x^2+ax+b+1$ polinomu ise $x\in [-1,1]$ aralığında sıfır veya pozitiftir. $b+1\leq 0$ olduğundan en az bir kökü vardır. $b=-1$ ise bu köklerden biri $0$'dır. Eğer $b<-1$ ise kökler zıt işaretlidir. Eğer ikinci durum gerçekleşseydi, polinomun $x=-1$'de pozitif veya sıfır olması için $-1$'in küçük (ve dolayısıyla negatif) kökten daha küçük veya eşit olması, $1$'in ise büyük (ve pozitif) kökten daha büyük veya eşit olması gerekirdi. Ancak bu durumda $x_1',x_2'$ köklerini düşünürsek, $(x_1',x_2')\subset [-1,1]$ olacağından $x\in [-1,1]$ olup polinomu negatif yapan değerler bulabiliriz. Bu bir çelişkidir.
Sonuç olarak $b=-1$ olmalıdır. Bu durumda $2x^2+ax$'in diğer kökü $x_0\neq 0$ ise $x_0$'ın işaretine bağlı olarak $(0,x_0)\cap [-1,1]$ veya $(x_0,0)\cap [-1,1]$ aralığında polinomu negatif yapan bir $x$ bulabiliriz. Diğer kök de $x_0=0$ olmalıdır. Buradan $a=0$ bulunur. Gerçekten de $$x\in [-1,1]\implies 0\leq x^2\leq 1\implies -1\leq 2x^2-1\leq 1$$ $$\implies |2x^2-1|\leq 1$$ olacaktır. Dolayısıyla, $a^2+b^2=1$'dir.
