2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Her $n$ pozitif tamsayısı için $n$'nin en büyük asal çarpanını $A(n)$ ile gösterelim. $a_1=68$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1}=a_n+A(a_n)$ ile tanımlanan $(a_n)$ dizisinin 19-uncu terimi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 340  \qquad\textbf{b)}\ 371  \qquad\textbf{c)}\ 361  \qquad\textbf{d)}\ 350  \qquad\textbf{e)}\ 380$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$A(n)\mid a_n$ olduğundan $a_n=k\cdot A(n)$ yazabiliriz. Bu durumda $a_{n+1}=a_n+A(n)=(k+1)\cdot A(n)$ olacaktır. $a_1=4\cdot 17$ olduğundan $A(1)=17$'dir. $a_2=5\cdot 17$, $a_3=6\cdot 17$ ve böyle devam edersek $a_{16}=19\cdot 17$ olacaktır. Artık $A(16)=19$ olacaktır. Buradan $a_{17}=18\cdot 19$, $a_{18}=19\cdot 19$ ve $a_{19}=20\cdot 19=380$ elde edilir.