2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Saf asitle dolu olan $54$ litrelik bir kaptan bir miktar asit alınıp yerine aynı miktarda su konuyor. Sonra, bu kaptaki karışımdan, ilk alınan miktarda karışım alınıp, yerine su konuyor. Bu işlem tamamlandıktan sonra, kaptaki karışımın $24$ litresi saf asit olduğuna göre, birinci defada kaptan kaç litre asit alınmıştır?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 17  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 19$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

İlk başta $x$ litre asit alınsın ve yerine su konulsun. Bu durumda karışımdaki asit oranı $\frac{54-x}{54}$ olacaktır. İkinci sefer de $x$ litre alındığında alınan karışımda $\frac{(54-x)x}{54}$ kadar asit olacaktır. Finalde $54-x-\frac{(54-x)x}{54}$ asit kalacaktır. Bu durumda $$54-x-\frac{54x-x^2}{54}=24\implies 30=\frac{108x-x^2}{54}\implies x^2-108x+1620=0$$ elde edilir. Diskriminant ile denklemin köklerinin $x=18$ ve $x=90$ olduğunu görebiliriz. $x\leq 54$ olduğundan $x=18$ olmalıdır.