2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 05

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $O$ merkezli çemberin $D$ noktasındaki teğeti ile $[BC]$ kirişinin uzantısının kesişim noktası $A$'dır. $|AD|=|BC|=a$  ve $|AB|=b$ ise, $(2b+a)^2$'nin $a$ cinsinden değeri nedir?

$\textbf{a)}\ a^2  \qquad\textbf{b)}\ 4a^2  \qquad\textbf{c)}\ 5a^2  \qquad\textbf{d)}\ 9a^2  \qquad\textbf{e)}\ 3a^2$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$A$ noktasının çembere göre kuvvetinden $AD^2 = AB\cdot AC \Rightarrow a^2 = b(b+a) \Rightarrow a^2 - b^2 = ab$.

$(2b+a)^2 = 4b^2 + a^2 + 4ab = 4b^2 + a^2 + 4a^2 - 4b^2 = 5a^2$.