1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 02

[matematikolimpiyati]

Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ y=||x|-1|+1  \qquad\textbf{b)}\ y=|x-1|-1  \qquad\textbf{c)}\ y=|x^2-1|  \qquad\textbf{d)}\ y=||x|+1|+1  \qquad\textbf{e)}\ y=|x-1|+|x+1|$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Mutlak değer fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun mutlak değersiz halinin $x=0$ altında kalan kısımlarının $x$ eksenine göre simetriği alınarak oluşturulur. Dolayısıyla $|x|$ fonksiyonunun grafiği "V" şeklindedir. Burada $f(x)=x$'e bu uygulandıktan sonra bir de $x=1$ doğrusuna göre de katlama yapılmış. Demek ki önce $x$'in mutlak değeri alınmış, sonra grafik $1$ birim aşağıya kaydırılmış, tekrar mutlak değer alınmış ve $1$ birim yukarı kaydırılmış. Bu da $A$ şıkkına karşılık geliyor.

Başka bir yöntem ise değer koymaktır. $x=-1,0,1$ değerlerinde sırasıyla $1,2,1$ çıktılarını veren sadece $A$ şıkkı vardır.

Diğer bir yöntem ise kritik nokta tespitidir. Verilen grafikte bariz şekilde kritik noktalar $-1,0,1$'dir. A şıkkında kritik noktalar $-1,0,1$; B şıkkında $1$; C şıkkında $-1,1$; D şıkkında $0$; E şıkkında ise $-1,1$'dir. Tüm kritik noktaları içeren tek şık $A$'dır.