Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2021 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere

$x+y+z=2,$      $xy+yz+zx=1$

ise, $x-y$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): Aranan en büyük değer $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ olmalıdır.

$z = 2 - (x+y)$ değerini ikinci denklemde yazarsak $z$ değişkenini yok edelim. $xy + (2- (x+y))(x+y) = 1$ olup düzenlersek

$$x^2 + y^2 + xy - 2x - 2y + 1 = 0$$

olur. Şimdi $x-y=n$ diyelim ve $n$ gerçel sayısının en büyük değerini bulalım. $y=x-n$ olup bu değeri son denklemde yazarsak $x^2 + (x-n)^2 + x(x-n) - 2x - 2(x-n) + 1 =0$ olur. Bu denklemi de $x$'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak düzenlersek,

$$ 3x^2 - (3n+4)x + (n+1)^2 =0 $$

elde ederiz. $x$ bir gerçel sayı olduğundan denklemin disktiminantı $\Delta \geq 0$ olmalıdır. $\Delta = (3n+4)^2 - 4\cdot 3 \cdot (n+1)^2 \geq 0$ eşitsizliğinden $3n^2 \leq 4$ buluruz. Buradan $$ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \leq n \leq  \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $$

olup $n_\max = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ değerini elde ederiz. Bu değeri veren $x$ gerçel sayısını da bulmak istersek, tepe noktası fikriyle $x = \dfrac{3n+4}{2}$ eşitliğini kullanabiliriz. Bu $x$ değerine bağlı olarak $y=x-n$ denkleminden dolayı $y, z$ değerlerinin de gerçel sayı olacağı açıktır.

[Metin Can Aydemir]

$x,y,z$'den biri $0$ ise diğerleri $1$'dir. Bu durumda $|x-y|$ en fazla $1$ olur. Daha büyük bir değer bulalım. $x,y,z\neq 0$ için $xy$'i hesaplarsak $$xy=1-z(x+y)=1-z(2-z)=(z-1)^2$$ elde edilir. Yani $x$ ve $y$'nin işaretleri aynıdır. Benzer şekilde tüm terimlerin işareti aynıdır. $x+y+z=2>0$ olduğundan $x,y,z$ pozitiftir. Dolayısıyla $$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=(2-z)^2-4(z-1)^2=4z-3z^2=z(4-3z)$$ olacaktır. Yani $4-3z>0$'dır. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$\frac{3z+(4-3z)}{2}\geq \sqrt{3z(4-3z)}\implies (x-y)^2=4z-3z^2\leq\frac{4}{3} $$ $$\implies x-y\leq |x-y|\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ elde edilir. Bu değer $1$'den büyük olduğundan en büyük değer budur. Eşitlik durumu için $3z=4-3z$'den $z=\frac{2}{3}$ elde edilir. $x+y=2-z$ olmasını kullanırsak $(x,y,z)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3},\frac{2-\sqrt{3}}{3},\frac{2}{3}\right)$ bulunur. $(x-y)_{\max}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ olacaktır.