Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1997 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunlukları $|AB|=|AC|=26, |BC|=20$ olan $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ noktalarından geçen yükseklikleri karşı kenarları sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $D$ noktasından geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ noktasında teğet olan çemberin yarıçapını hesaplayınız.

[geo]

Çemberin merkezi $O$ olsun. $OE \perp AC$ olduğu için $O$ noktası $BE$ üzerindedir. Ayrıca tanım gereği $OE = OD$.
$BEC$ dik üçgeninde $BD = DC = DE = \dfrac {BC}2$.
Dolayısıyla $\triangle EOD \sim \triangle EDB$  $(AA)$.

$\dfrac{OE}{DE} = \dfrac{DE}{BE} \Rightarrow OE = \dfrac{DE^2}{BE} = \dfrac{\dfrac{BC^2}{4}}{BE} = \dfrac{BC^2}{4 \cdot BE}$.

Alandan elde ettiğimiz $BE \cdot AC = AD \cdot BC \Rightarrow BE = \dfrac{AD \cdot BC}{AC}$ değeri yazarsak
$OE = \dfrac{AC \cdot BC}{4\cdot AD}$ elde edilir.
Soruda verilenleri yerine yazdığımızda ($\triangle CDA$ bir $5k-12k-13k$ üçgenidir) $OE = \dfrac{26 \cdot 20}{4\cdot 24} = \dfrac {65}{12}$ elde edilir.

Biraz daha düzenlemek istersek $OE= \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{\dfrac{BC}{2}}{AD} =  \dfrac{AC \cdot \tan \angle DAC }{2}$ elde edebiliriz.
Biraz daha kurcalandığında ($\triangle ABC$ nin diklik merkezine $H$ dersek) $OE = \dfrac {CH}{2}$ olduğu da görülebilir.