Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1996 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Bir torbada başlangıçta $a$ tanesi kırmızı, $b$ tanesi beyaz ve $c$ tanesi de siyah olmak üzere toplam $20$ top bulunmaktadır.

a) Beyaz topların sayısı iki katına çıkarıldıktan sonra torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olması olasılığının, başlangıçtaki torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığından $\dfrac{1}{25}$ daha az olduğu ve

b) torbadaki bütün kırmızı toplar çıkarılıp geri kalanlar arasında rastgele bir top çekildiğinde, bu topun beyaz olması olasılığının, aynı çekişin başlangıçtaki torbadan yapıldığı durumdakinden $\dfrac{1}{16}$ daha fazla olduğu bilinmektedir.

$a$, $b$ ve $c$ yi bulunuz.

[geo]

$\dfrac{a}{20}-\dfrac{a}{20+b}=\dfrac{1}{25}$

$\dfrac{b}{20-a}-\dfrac{b}{20}=\dfrac{1}{16}$

$25ab=20(20+b)$
$16ab=20(20-a)$

$b=\dfrac{20(20-a)}{16a}=\dfrac{5(20-a)}{4a}$

$25a\cdot \dfrac{5(20-a)}{4a}=20\left (20+\dfrac{5(20-a)}{4a}\right)=5\cdot \dfrac{75a+100}{a}$

$a(20-a)=12a+16\Longrightarrow a^2-8a+16=0 \Longrightarrow a=4$.
$b=5$, $c=11$.

[geo]

$\dfrac{a}{20}-\dfrac{a}{20+b}=\dfrac{1}{25}$

$\dfrac{b}{20-a}-\dfrac{b}{20}=\dfrac{1}{16}$

$25ab=20(20+b)$
$16ab=20(20-a)$

$\dfrac{25}{16}=\dfrac{20+b}{20-a}$.
Bu aşamada $b=5$, $a=4$ ün çözüm olduğu açıktır. Başka çözümler de olabileceği için biraz daha işlem yapacağız.
Taraf tarafa çarptığımızda $25a+16b=180$ elde ederiz.
$a=0$ veya $b=0$ ın çözüm olmadığı açıktır.
Eşitliği $\bmod 4$ ve $\bmod 5$ te incelediğimizde ($k,m\in \mathbf Z^+$) $a=4k$ ve $b=5m$ elde ederiz.
$180=25a+16b=100k+80m\geq 180$ olduğu için $k=1$ ve $m=1$ tek çözümdür.
Bu durumda $a=4$, $b=5$, $c=11$ dir.