Cevap: $\boxed{B}$
Sayılarımız $a_1,a_2,\dots,a_{13}$ olsun. Üçlü toplamlar $a_1+a_2+a_3,a_2+a_3+a_4,\dots,a_{13}+a_1+a_2$'dir. Bunların toplamı ise her $a_i$ tam olarak $3$ defa bulunduğu için $$3(1+2+3+\dots+13)=273$$ olacaktır. Toplamda $13$ tane üçlü olduğu için en küçük toplama $M$ dersek, $$M\leq \frac{273}{13}=21$$ olacaktır. $M=21$ durumu ise tüm toplamların $21$'e eşit olması halinde elde edilir. Ardışık üçlülerin toplamlarının eşit olması demek, $a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4$ olduğundan $a_1=a_4$ olması demektir ki bu da imkânsızdır. Dolayısıyla, $M\leq 20$ olacaktır. $M=20$ de imkânsızdır ama önce $M=19$'un mümkün olduğunu gösterelim. Eğer sayıları $$13,1,6,12,2,7,10,3,8,9,4,11,5$$ sırasında seçersek, toplamlar $$20,19,20,21,19,20,21,20,21,24,20,29,19$$ olur ve minimumu $19$'dur.
Şimdi ise $M=20$ olamayacağını gösterelim. Aksini varsayalım ve $M=20$ olsun. $s_i=a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ olarak tanımlayalım ($a_{n+13}=a_n$). Bu durumda $s_i,s_{i+3},s_{i+6},s_{i+9}$ sayıları $a_{i},a_{i+1},\dots,a_{i+11}$ sayılarının üçlü toplamlarıdır ve aynı sayıları içermezler. Dolayısıyla, $$1+2+3+\cdots+13-a_{i-1}=s_i+s_{i+3}+s_{i+6}+s_{i+9}\geq 80$$ $$\implies a_{i-1}\leq 11$$ bulunur. Ancak $i$ rastgele olduğundan dolayı $a_{i-1}=12$ veya $13$ olacak şekilde $i$'i seçebiliriz, bu durumda bu eşitsizlik bir çelişki oluşturur. Yani $M=20$ olamaz. En küçük toplamın alabileceği en büyük değer $19$'dur.
Not: Direkt olarak son çelişki yöntemini kullanırsak, $a_{i}\leq 91-4M$ eşitsizliği bulunur. Dediğimiz gibi $a_i=13$ olabileceğinden $13\leq 91-4M$ olmalıdır ve $M\leq 19$ bulunur. Başta bu gözlemi yaparak direkt olarak $M=19$ için arama yapmaya başlayabiliriz.
Not 2: $M=19$ için bir çözüm bulmak çok zor gözükse de aslında basit bir algoritma ile elde edilebilir. Birden fazla çözüm vardır, ben yukarıdaki örneğe nasıl ulaştığımı belirteceğim. Öncelikle toplamları aşırı büyültürsek, en küçük toplam o kadar azalacaktır, bu yüzden olabildiğince ufak toplamlar elde etmeliyiz. Dolayısıyla, $13$'ten sonra $1$ ile devam etmek en iyisidir. Bir sonraki sayıyı elde etmek için $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\geq 19$ olmasını kullanarak sıradaki sayı için bir alt sınır belirliyoruz. Bu alt sınır uygunsa, yani daha önce kullanılmamışsa veya biraz ilerleyince sıkıntı çıkarmıyorsa onu seçiyoruz ve bu şekilde ilerliyoruz. Örneğin, $13,1$ ile başlanıldığı için sıradaki sayı en az $5$ olmalıdır ancak $5$'i seçmek, bir sonraki sayının $13$ olmasını zorlayacağından $6$'yı seçiyoruz. Sonrasında ise bahsettiğimiz algoritmayı kullanarak örnek dizilimi elde edebiliyoruz.
