Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere $2^m+2^n+5$ tam kare ise, $m+n$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Genelliği bozmadan $m\geq n$ olsun. Eğer $n\geq 3$ ise $2^m+2^n+5\equiv 5\pmod{8}$ olacağından tamkare olamaz. $n=1$ veya $n=2$ olabilir.

$n=1$ ise $t^2=2^m+7$ olur. $m\geq 3$ olursa $t^2\equiv 7\pmod{8}$ çelişkisi elde edilir, $m=2$ ve $m=1$ denenirse $m=1$ için çözüm olduğu görülür. Yani $(m,n)=(1,1)$ çözümü elde edilir.

$n=2$ ise $t^2=2^m+9$ olur. $$2^m=(t-3)(t+3)\implies (t-3,t+3)=(2^a,2^b)$$ formatında olacaktır. $2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1)=6$ olduğunda $a=1$ ve $b=3$ bulunur, yani $m=4$ bulunur. $(m,n)=(4,2)$ ve simetriden $(2,4)$ çözümü bulunur.

$m+n$'nin alabileceği değerler $2$ ve $6$'dır.