Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 23

[matematikolimpiyati]

Yaşları tam sayılar olan Ali ve Burcu, $99$ şekeri yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşıyorlar. Eğer paylaşım yaşlarıyla ters orantılı olarak yapılsaydı, Ali $9$ şeker daha fazla alacaktı. Buna göre, Ali'nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Ali ve Burcu'nun yaşları $a$ ve $b$ olsun. Doğru orantılı olduğu durumda Ali'nin aldığı şeker sayısı $\frac{99a}{a+b}$ şeker alır. Ters orantılı olduğu durumda da $\frac{99\cdot \frac{1}{a}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{99b}{a+b}$ şeker alacaktır. Dolayısıyla bize verilen eşitlik $$\frac{99b}{a+b}-\frac{99a}{a+b}=9\implies 5b=6a$$ bulunur. Yani $(a,b)=(5k,6k)$ formatındadır. Ali'nin yaşı, verilen şıklarda sadece $10$ olabilir.