Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 20

[matematikolimpiyati]

İki öğrenci tahtaya çizilmiş bir düzgün $n$-genin üzerinde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu $n$-genin daha önce sayı yazılmamış bir köşesine istediği bir pozitif tam sayıyı yazıyor. Tüm köşelere sayı yazıldıktan sonra öğretmen her kenarın ortasına bu kenarın iki ucundaki sayıların toplamını yazıyor. Öğretmenin yazdığı bu $n$ sayı arasında birbirine eşit olan sayılar varsa oyunu başlayan oyuncu kazanıyor. Oyun $n=3,4,5,6,7,8,9,10$ değerleri için birer kez oynanırsa başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer $n\geq 5$ ise oyuna başlayan oyuncu ilk köşeye $x$ yazsın. Diğer oyuncu ise başka bir köşeye $y$ yazsın. Yazılan $y$ nerede olursa olsun, ilk oynayan oyuncunun başladığı köşenin saat yönünde veya saat yönünün tersindeki ikinci köşelerden birisi boş olacaktır. Buraya ilk yazdığı sayıyı yazarak oyunu kazanır.

$n=3$ durumunda da kendine ikinci defa sıra geldiğinde ilk yazdığı sayıyı yazarak her ihtimalde kazanır.

$n=4$ durumunda bir köşeye $x$ yazsın, diğer oyuncu onun tam çaprazındaki köşeye $x+1$ yazsın. Üçüncü oyuncu kalan köşelerden birine $y$ yazarsa, diğer oyuncu da son köşeye $y+2$ yazar ve başlayan oyuncu kazanamaz.

Sonuç olarak $n=4$ durumu haricindeki tüm oyunlarda kazanma stratejisi vardır.