Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $|EC|=1$, $|EA|=2$, $|AB|=3$, $|BD|= \sqrt3$ ve $s(\widehat{BAD})=s(\widehat{EDC})$ ise, $|DE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$|AB|=|AC|$ olduğundan $s(\widehat{BAD})=s(\widehat{EDC})=\alpha^\circ$ ve $s(\widehat{ABC})=\beta^\circ$ dersek, $s(\widehat{ACB})=\beta^\circ$ olacağından $ABD$ ve $DCE$ üçgenleri benzerdir. Benzerlikten $|DC|=\sqrt{3}$ bulunur. Yani $AD$ yüksekliktir. Pisagordan $|AD|=\sqrt{6}$ bulunur. $ADC$ üçgeninde kenar uzunlukları ve $|EA|,|EC|$ uzunlukları bilindiğinden $|DE|$'yi rahatlıkla hesaplayabiliriz. Birde çok yöntem vardır, ben en genel hali olan Steward teoremini kullanacağım. $$|DE|^2=\frac{|DC|^2\cdot |AE|+|AD|^2\cdot |EC|}{|AC|}-|AE|\cdot |EC|=2\implies |DE|=\sqrt{2}$$ bulunur.