Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Duvardaki $4$ X $4$ satranç tahtasının $6$ birim karesi, her satırda ve her sütunda tek sayıda işaretlenmiş birim kare olmak koşuluyla, kaç farklı şekilde işaretlenebilir?

$\textbf{a)}\ 130  \qquad\textbf{b)}\ 146  \qquad\textbf{c)}\ 154 \qquad\textbf{d)}\ 160  \qquad\textbf{e)}\ 172$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Toplam $3$ tane satır/sütunda bir tane işaretli, $1$ tane satır/sütunda da üç tane işaretli kare olması gerektiği kolayca görülebilir. $4\cdot 4=16$ şekilde hangi sütun ve hangi satırda $3$ tane işaretli kare olacağını seçelim. $R$. satır ve $C$. sütun seçilmiş olsun. Bu ikisinin kesişimi olan kare işaretli değilse, kalan üçer kare işaretli olacaktır ve böylece $6$ kareyi uygun şekilde işaretlemiş oluruz. Bu bize bir tane işaretleme verir.

$R$ ve $C$'nin kesişimi işaretli ise geriye kalan üçer kareden ikisini işaretlemeliyiz. Her biri için $3$ farklı şekilde yapabileceğimizden $3\cdot 3=9$ olası durum vardır. $5$ kare işaretlenmiştir. Bu durumların her biri bize hiçbir karesi boyanmamış bir satır ve sütun verir. Boyanacak olan son kare bu satır ve sütunun kesişimi olacaktır. Dolayısıyla, $6$. kare de tek şekilde işaretlenmiş olur. Yani bu durumda da $9$ farklı işaretleme vardır.

Her $(R,C)$ ikilisi için tam olarak $10$ tane işaretleme vardır. Dolayısıyla tüm işaretlemelerin sayısı $16\cdot 10=160$'dır.