Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$1$ den büyük hiçbir tam sayının $5$-inci kuvveti ile tam bölünmeyen bir pozitif tam sayının pozitif bölen sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 2010  \qquad\textbf{b)}\ 2016  \qquad\textbf{c)}\ 2018 \qquad\textbf{d)}\ 2023  \qquad\textbf{e)}\ 2025$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{E}$

$p_i$'ler farklı asal sayılar olmak üzere $n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{r_i}$ olsun. Bu durumda verilenlere göre $r_i\leq 4$ olmalıdır. $n$'nin pozitif bölen sayısı $$S=(r_1+1)(r_2+1)(r_3+1)\cdots(r_k+1)$$ şeklindedir. O halde $S$, öyle bir sayı olmalıdır ki $r_i+1\leq 5$ olan sayıların çarpımı şeklinde yazılabilsin. Şıklardakilerden sadece $2025=3^4\cdot 5^2$ bu koşulu sağlar.