Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 25

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $AI$ doğrusu $BIC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $D$ noktasında kesmektedir. $|AB|=8$, $|AC|=10$ ve $|AI|=4$ ise, $|ID|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 8\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 10\sqrt2$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{A}$

$I,$ içteğet çemberin merkezi olduğundan $AI,BI$ ve $CI$ açıortaydır. Yani $s(\widehat{BAI})=s(\widehat{IAC})$ ve $s(\widehat{ACI})=s(\widehat{ICB})$ olur. Diğer taraftan $I,B,D,C$ çembersel olduğu için $s(\widehat{IDB})=s(\widehat{ICB})$ bulunur. Buradan da açı eşitliklerinden dolayı $ADB \sim ACI$ elde ederiz. Son olarak kenar oranlarından
$$\dfrac{|AD|}{|AC|}=\dfrac{|AB|}{|AI|} \implies \dfrac{|AD|}{10}=\dfrac{8}{4} \implies |AD|=20 \implies |ID|=20-4=16$$
sonucuna ulaşırız.