Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 23

[matematikolimpiyati]

Sabit hızlarla hareket eden $A$ ve $B$ bisikletçilerinin hızları sırasıyla $24$ km/saat ve $30$ km/saat tir. Bu iki bisikletçi toplam uzunluğu $1680$ km olan bir yola aynı anda başlıyorlar. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, bu yol üzerinde bulunan her mola noktasında $A$ bisikletçisi $k$ saat, $B$ bisikletçisi ise $2k$ saat dinleniyor. $A$ ve $B$ bisikletçileri bu yolu aynı anda tamamladıklarına göre, yol üzerinde bulunan mola noktası sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 30$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$m$ adet mola noktası olsun. Eğer hiç dinlenmeselerdi, $A$ bisikletlisi $\frac{1680}{24}=70$ saatte, $B$ bisikletlisi ise $\frac{1680}{30}=56$ saatte yolu tamamlardı. $A$ bisikletlisi $km$ saat molada beklerken, $B$ bisikletlisi $2km$ saat bekliyor. Dolayısıyla, $$70+km=56+2km\implies km=14$$ olmalıdır. Buradan $m=1,2,7,14$ değerleri bulunur. Bunların toplamı ise $24$'dür.