Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$10$ tane tam sayının küplerinin toplamı $1000$ ise, bu $10$ sayının toplamı $24$, $26$, $28$ ve $30$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[ygzgndgn]

Cevap: B

Soruda verilenlere göre $a_1,a_2,\dots,a_{10}\in\mathbb{Z}$ için $a_1^3+a_2^3+\dots+a_{10}^3=1000$ olsun. $a^3-a=a(a-1)(a+1)$ ifadesi her $a$ tam sayısı için en az bir tane $2$ çarpanı ve en az bir tane $3$ çarpanı içerdiğinden daima $6$ ya tam bölünür. $$6|a^3-a\Rightarrow a^3\equiv a \pmod 6$$ sağlanmalıdır. Bunu kullanarak $$a_1^3+a_2^3+\dots+a_{10}^3\equiv a_1+a_2+\dots+a_{10}\equiv 1000 \equiv 4 \pmod 6$$ elde ederiz. O halde verilen sayılar arasından sadece $28$ in $6$ ya bölümünden kalan $4$ olduğundan toplam en fazla bir tanesine eşit olabilir. $28$ için

$$a_1=a_2=a_3=a_4=1$$ $$a_5=a_6=a_7=2$$ $$a_8=3$$ $$a_9=6$$ $$a_{10}=9$$

örneği verilen koşulu sağlar.