1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

Kenarları $a$ ve $b$ cm ($a < b$ ) olan paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan bir doğru, paralelkenarı öyle iki yamuğa bölüyor ki, bu yamuklardan her ikisine de içteğet çember çizilebiliyor. Bu durumda, paralelkenarın dar açısının sinüsü aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b}{a+b} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a}{a+b}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a}{b} \qquad\textbf{d)}\ 1-\dfrac{a}{b} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{b}{a}-1$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Paralelkenarın yüksekliği $h$ olsun. Teğetler dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşit olduğundan $a+h=(b-x) + x=b$ olup $h=b-a$ bulunur. O halde şekilden, $\sin \theta = \dfrac{h}{a} = \dfrac{b-a}{a} = \dfrac{b}{a} - 1$ elde edilir.